0 引　言

滤波算法是深空探测组合导航中的一项关键技术。在导航技术快速发展的同时，滤波算法的研究也在不断进步。目前国际上有许多不同的滤波算法适用于不同的导航技术^[1-2]。在滤波算法实际应用于导航系统时，必须对不同的算法进行评估，这有助于了解和明确各算法在该系统中应用的优缺点，为滤波算法的实际效用提供一个可参考的标准。一个好的评估方法能够对算法做出准确的评估，其评估结果对组合导航系统的性能评判是非常重要的^[3]。

目前，常使用均方差法、灰色层次分析法等传统方法对导航滤波算法进行综合评估，这些方法在评估时都不可避免地存在一些不足。对于均方差法，其评估对象为在滤波递推解算过程中对均方误差阵估计后的对角线元素平方根的大小，但是当实验数据本身存在较大的剩余系统误差或实验数据总数较少时，该方法所得的结果未必符合实际情况。对于灰色层次分析法，灰色系统理论中对白化函数问题的阐述是模糊的，没有给出具体的物理意义解释，并且常用白化函数形式简单，对于排序评价是不适合的^[4-5]。模糊灰色聚类评估方法使用模糊数学方法来修正灰色系统评价方法，该方法不仅能考虑指标之间的相互关系，而且当数据较多时分析更加详细，能够对数据进行定量评价^[6]。本文通过层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）确定指标的相对权重，并结合隶属函数通过改进的灰色层次分析法^[7]对评估对象进行深入分析。

1 评估指标体系 1.1 精度

探测器在观测或者测量的过程中，往往会因为测量仪器的不精确和外界条件的变化而产生观测误差。另外，在数据分析处理过程中也会由于有效数字的取舍、各种数学常数以及计算方法和模型的不同而产生误差，且由于目标参数未知，系统预测的最优估计值与真值不可能完全一致，两者之间的误差则常作为滤波算法的精度标志。因此，精度指标在导航滤波算法综合评估中十分重要。

1.2 连续性

导航系统的连续性是指系统在一段时间内，能够稳健无故障地为要执行的一系列航行操作持续提供服务的能力。深空探测飞行器运行时通过接收基准观测信号并结合星历文件和轨道动力学方程就可以进行当前位置和速度的解算，基准导航信号信息主要来源于深空星系所发出的光谱和照相机图像采集等信息。

同时，探测器在选择导航参考天体和测量数据时并不连续，若导航算法提供的导航信息有偏差，且由于传感器、导航处理器在实际传输信息时，其传输过程可能是离散的、时间不连续的，则在此种状况下可能最终导致导航算法不能解算出正常探测器状态值。因而有必要评估系统在处于时间异步、离散的中间状态时能否连续地提供导航信息。

1.3 实时性

滤波算法具有一定的时空复杂度。针对深空导航的实际情景，飞行器必须考虑体积、功耗、运算能力、成本、散热等多种因素带来的影响。其中的运算能力就要求飞行器能够在较短的时间内解算出速度、位置等相关信息，以此满足导航系统的实时性。考虑到导航系统在实际运行时可能会受到外部环境的扰动，使导航状态出现较大偏差，导航系统能否在出现偏差之后快速消除误差干扰并回到正常的导航状态的特性也标志着导航系统的实时性好坏。因此有必要考虑实时性这一指标值，用以衡量算法运行的周期和针对外来干扰做出反应的时间。

1.4 稳定性

导航系统在受到外界干扰时，会进入异常状态，产生偏差。导航系统在出现误差的干扰后能输出达到精度要求的导航状态，是飞行器能够稳定飞行的关键。因此，有必要考虑稳定性这一指标值，用以衡量导航系统从出现误差干扰后迅速恢复到正常导航状态的能力。

1.5 可用性

导航系统的可用性即系统服务可持续使用时间的百分率，标志着系统在某一指定区域内提供可持续导航服务的能力。因此，可用性指标是衡量导航系统可用程度的重要指标。

2 模糊灰色聚类评估方法

模糊灰色聚类评估方法是在灰色系统理论的基础上，融合模糊综合评估方法所建立的综合评估模型^[8]，能够更加精准、客观地对导航滤波算法进行综合评估。当使用单一的灰色系统综合评价法对滤波算法进行评估时，存在一些缺点^[9]：

1）灰色系统理论中的白化函数过于简单

从当前实际评价应用中可以得出结论，白化函数更多地是采用线性函数，其缺点是更容易使白化值脱离实际。但是由于白化函数反映的是归一化单项评价指标与评价对象评价等级之间的变动关系，因此实际上非线性函数更能描绘这种关系。

2）灰色系统理论中白化函数指标值定义域的范围取值不合适

目前白化函数的定义域范围都是以0为起点，且各类白化函数的定义域范围均相同，这样各个指标从属的灰类之间的界限会变得模糊。所以将白化函数的定义域范围取为相同且起点相同是不合适的。

3）灰色系统理论中的聚类选大原则会导致结果出现偏差

聚类选大原则的原理就是在评估结果中选取最大的值作为该评估对象的等级，该方法对于评估结果各值差异较小时，会出现偏差。这种以点盖面的方法会忽略其他指标的作用，对最终的各评估对象之间的优劣排序有一定的影响。

4）评价样本矩阵主观性太强

在灰色系统理论中，一般通过专家打分的方式来建立评价矩阵，这种方式主观性太强，最后的结果与所选取专家的权威性以及其对该方向的研究水平相关。

3 模糊灰色聚类评估方法

模糊灰色聚类综合评估是将模糊综合评估与灰色系统理论相结合，以模糊综合评估弥补灰色系统理论在综合评估时的不足。以下是该方法的评估步骤。

1）确定评估对象

该评估方法所评估对象为多种滤波方法，主要为无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）、扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）、无迹粒子滤波（Unscented Particle Filter，UPF）。

2）确定评估指标体系及评价等级表

指标的选取为P= {精度，连续性，实时性，稳定性，可用性}，针对该指标体系建立评语等级，如表 1所示。

3）确定灰类及隶属度函数

隶属度函数为

${\rm{f}}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm exp}\left\{ { - \displaystyle\frac{{{{(x - e_1)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right\}{\rm{ }},0 \leqslant {\rm{x}} < e_1}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{1, e_1 \leqslant {\rm{x}} \leqslant e_2}\\{{\rm exp}\left\{ { - \displaystyle\frac{{{{(x - e_2)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right\},e_2 < {\rm{x}} \leqslant 1}\end{array}} \right.$

(1)

第一灰类“差”，e₁= 0，e₂= 0.1

第二灰类“较差”，e₁= 0.15，e₂= 0.35

第三灰类“一般”，e₁= 0.4，e₂= 0.6

第四灰类“良”，e₁= 0.65，e₂= 0.85

第五灰类“优秀”，e₁= 0.9，e₂= 1

4）建立灰色评价权矩阵

对于第i个评价指标其值使用p_i表示，第e个评价灰类的灰色评价系数使用X_ie表示，各灰类的总灰色评价数为X_i，则有

${X_{ie}} = f\left( {{p_i}} \right)$

(2)

${X_i} = \mathop \sum \limits_{e = 1}^5 {X_{ie}}$

(3)

根据上述公式可得灰类的灰色评价权为

${r_{ie}} = \frac{{{X_{ie}}}}{{{X_i}}}$

(4)

所以p个指标所对应的灰色评价向量为

${\mathit{\boldsymbol{r}}}_i = (ri_1,ri_2,ri_3,ri_4,ri_5)$

(5)

p个指标所对应的灰色评价矩阵为

$\mathit{\boldsymbol{R}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r}_1}\\[5pt]{{r}_2}\\ \vdots \\{{r}_4}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r_{11}}&{r_{12}}& \cdots &{r_{15}}\\[5pt]{r_{21}}&{r_{22}}& \cdots &{r_{25}}\\[5pt] \vdots & \vdots &{}& \vdots \\[5pt]{rp_1}&{rp_2}& \cdots &{rp_5}\end{array}} \right]$

(6)

5）根据层次分析法确定权重

层次分析法是一种定量与定性相结合的有效分析方法^[10]。针对上一层某元素，对每一层次各个元素的相对重要性程度进行两两比较，采用1～9及其倒数作为标度^[11]，给出判断，然后将这些判断用数值表示，再构成矩阵形式，即为判断矩阵。求解判断矩阵对应的最大特征根和特征向量。特别地，当确定判断矩阵具有完全一致性之后，对特征向量归一化后即可得到权重向量^[12]；否则需要重新调整判断矩阵，使其满足一致性检验。AHP法步骤如下：

第一步：构造准则层判断矩阵。

我们比较同一层次各个指标的相对重要性即可以得出表 2所示的判断矩阵。

第二步：计算判断矩阵特征值和特征向量。

计算判断矩阵A每一行元素乘积M_i

$M_i = \prod\limits_{j = 1}^n {a_{ij}} $

(7)

计算M_i的n次方V_i

$V_i = \sqrt[n]{{M_i}}$

(8)

对向量 $\mathop {{\mathit{\boldsymbol{V}}} = (V_1,V_2, \cdots V_n,)}\nolimits^{\rm{T}} $ 归一化

$W_i = \frac{{V_i}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {V_j} }}$

(9)

则 $\mathit{\boldsymbol{W}} = (W_1,W_2, \cdots ,W_n)$ 即为所求的特征向量。

第三步：计算判断矩阵的最大特征根 $\lambda {\rm max}$ 。

$\lambda_{\rm max}{\rm{ = }}\sum\limits_{i = 1}^{\rm{n}} {\frac{{(AW)_i}}{{nW_i}}} $

(10)

其中 $(AW)_i$ 表示向量AW的第i个向量分量。

第四步：一致性检验。

为了检验判断矩阵是否满足一致性要求，需要根据最大特征根计算出检验指标

$CI = \frac{{\lambda_{\rm max} - n}}{{n - 1}}$

(11)

此外，还需要确定判断矩阵的平均随机一致性指标RI，对于1到9阶判断矩阵，RI指标值如表 3所示。

当判断矩阵阶数大于2时，用符号CR表示判断矩阵一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI的比值，即CR=CI/RI。当判断矩阵阶数小于2时，判断矩阵满足一致性要求的结果恒为真，故不予讨论。当CR<0.1时，则判断矩阵满足一致性要求，否则继续调整矩阵，直至其满足一致性要求^[13]。

6）求综合评估矩阵

由上一步骤可知评价指标的权重向量为 ${\mathit{\boldsymbol{W}}} = (W_1,W_2, \cdots ,W_n)$ ，则其评价结果为

${\mathit{\boldsymbol{B}}} = {\mathit{\boldsymbol{W\tilde R}}} = (b_1,b_2,b_3,b_4,b_5)$

(12)

此处矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}}$ 为第4步得到的灰色评价权矩阵且归一化之后的矩阵。

7）确定评估结果等级

取灰类评价等级值 $C = {(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)^{\rm T}}$ ，则最后的评价值为

$Z{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{BC}}$

(13)

所以最后可以通过由Z值在评估等级的分数区间所处范围确定最终评估结果等级。

4 实例分析

本文对EKF、UKF、UPF 3种不同的导航滤波算法进行综合评估，采样点数据以实际火星探测器的真实轨道数据为依据，探测器轨道参数如表 4所示。

1）对于采样点数据运行滤波算法，再使用各指标公式对滤波数据进行分析，即可得出各指标值，但由于各指标的含义及数量级不同，有些指标是正向指标，有些指标是逆向指标，还有些指标是适度指标。因此，在综合评价时，首先必须将指标正向化，其次为了消除不同指标的不同量纲和量纲单位所带来的影响^[14]，必须采取均值化法对计算值进行处理^[15]，结果如表 5所示。

2）建立灰色评价权矩阵

根据隶属度函数，对于评价指标p_i，第e个评价

灰类的评价系数为

当e=1，e₁=0，e₂=0.1时

$X_{11} = f(p_1) = f(0.006\;35) = 1$

当e=2，e₁=0.15，e₂=0.35时

$X_{12} = f(p_1) = f(0.006\;35) = 0.708\;984$

当e=3，e₁=0.4，e₂=0.6时

$X_{13} = f(p_1) = f(0.006\;35) = 0.075\;571 8$

当e=4，e₁=0.65，e₂=0.85时

$X_{14} = f(p_1) = f(0.006\;35) = 0.001\;003$

当e=5，e₁=0.9，e₂=1时

$X_{15} = f(p_1) = f(0.006\;35){\rm{ = }}0$

对于评价指标P_i，按照公式（3），可以得出总灰色评价数为

$X_1 = \sum\limits_{e = 1}^5 {X_{1e}} = X_{11} + X_{12} + X_{13} + X_{14} + X_{15} = 1.785\;558\;8$

根据公式（4），可以得出第e个灰类的评价权值为

$r_{11} = \frac{{X_{11}}}{{X_1}} = 0.560\;048\;8$

$r_{12} = \frac{{X_{12}}}{{X_1}} = 0.397\;07$

$r_{13} = \frac{{X_{13}}}{{X_1}} = 0.042\;324$

$r_{14} = \frac{{X_{14}}}{{X_1}} = 0.000\;56$

${\mathop{\rm r}\nolimits} _{15} = \frac{{X_{15}}}{{X_1}} = 0$

因此评价指标P_i对应的各灰类的灰色评价权向量为

${r}_1 = (0.560\;048\;8,0.397\;07,0.042\; 324,0.000\;56,0)$

同理可以求得r₂、r₃、r₄、r₅的值，再处理可得到灰色评价矩阵且归一化后为

$\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.281\;024\;4}&{0.170\;827}&{0.032\;034}&{0.001\;234}&0\\[5pt]{0.281\;024\;4}&{0.178\;429}&{0.036\;186}&{0.001\;507}&0\\[5pt]{0.020\;574\;4}&{0.168\;851}&{0.423\;884}&{0.828\;500}&{0.743\;822}\\[5pt]{0.150\;663\;4}&{0.240\;946}&{0.350\;748}&{0.147\;701}&{0.244\;892}\end{array}} \right]$

同理可求 $\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_2$ 、 $\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_3$ 为

$\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.334\;943}&{0.190\;721 6}&{0.031 065}&{0.000\;639}&{0.000\;001}\\[5pt]{0.278\;994}&{0.274\;093}&{0.229\;085}&{0.025\;427}&{0.000 \;323}\\[5pt]{0.000 \;028}&{0.000 \;422 2}&{0.152 \;131}&{0.692\; 547}&{0.980 \;167}\\[5pt]{0.320 \;184}&{0.274\; 093}&{0.155 \;182}&{0.011\; 1}&{0.000\; 091}\\[5pt]{0.065 \;851}&{0.256\; 87}&{0.432 \;536}&{0.093\; 75}&{0.099\; 122}\end{array}} \right] $

$\mathit{\boldsymbol{\tilde R}}_3 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.345\; 949}&{0.186\; 229}&{0.026 \;293}&{0.000\; 685}&{0.000 \;001}\\[5pt]{0.206\; 939}&{0.267\; 611}&{0.282 \;768}&{0.071 734}&{0.001 841}\\[5pt]{0.000\; 131}&{0.011\; 033}&{0.203 \;829}&{0.741\; 994}&{0.989\; 452}\\[5pt]{0.329\; 538}&{0.267\; 611}&{0.133 \;485}&{0.012\; 294}&{0.000\; 115}\\[5pt]{0.117 \;441}&{0.267\; 516}&{0.353 \;626}&{0.173\; 294}&{0.008 \;591}\end{array}} \right]$

3）AHP法权重结果

基于AHP层次分析法确定的指标权重向量为

$\begin{align}\\\mathit{\boldsymbol{W}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.4}&{0.4}&{0.1}&{0.05}&{0.05}\end{array}} \right]\end{align}$

确定综合评估结果

$\begin{aligned}& \mathit{\boldsymbol{B}}_1 = \mathit{\boldsymbol{W\tilde R}}_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.247\;746}&{0.180 682}&{0.095\; 071}&{0.092\; 384}&{0.087\; 191}\end{array}} \right]\\ & \mathit{\boldsymbol{B}}_2 = \mathit{\boldsymbol{W\tilde R}}_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.243 \;517}&{0.209\; 396}&{0.168 \;363}&{0.112\; 446}&{0.100\; 117}\end{array}} \right]\\ & \mathit{\boldsymbol{B}}_3 = \mathit{\boldsymbol{W\tilde R}}_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.264\; 879}&{0.212\; 896}&{0.148 \;659}&{0.093\; 750}&{0.099\; 122}\end{array}} \right]\end{aligned}$

4）确定评价结果等级

根据灰类评价等级值 $\mathit{\boldsymbol{C}} = {(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)^{\rm T}}$ ，则最后的评价值为

$\begin{array}{l}Z_1 = {B}_1{C} = 54.554\\[5pt]Z_2 = {B}_2{C} = 63.283\\[5pt]Z_3 = {B}_3{C} = 63.408\end{array}$

由评估结果可以看出，在综合考虑精度、实时性、稳定性、可用性、连续性等指标的情况下，通过该评估方法的评估结果可以看出UPF和UKF的性能要比EKF好很多，这是因为EKF滤波方法的速度误差相比于另外两种滤波方法误差更大，同时其可用性也比另外两种滤波方法要低很多。因此EKF滤波方法的性能是比较差的。同时就整体而言，UPF和UKF两种滤波算法的综合性能一般，且二者之间的差别不是很大，因为两种滤波方法的各评估指标值的差别很小。

5 结　论

本文所介绍的模糊灰色聚类综合评估方法以灰色理论为基础，同时结合模糊综合评估来弥补灰色系统理论在综合评估时的不足，该方法使用AHP层次分析法，能够客观地对于各指标的相对重要性给出对应权重，增强了权值的客观性。对于评估结果采取区间量化分数的形式进行展现，增强了算法之间的可区分性。经实验分析，通过该方法对滤波算法进行评估可使评估结果更加直观、准确、客观。